Le premier théorème d’incomplétude peut être énoncé de la façon encore un peu approximative suivante (les termes techniques sont expliqués dans le paragraphe suivant).

Dans n’importe quelle théorie récursivement axiomatisable, cohérente et capable de « formaliser l’arithmétique », on peut construire un énoncé arithmétique qui ne peut être ni prouvé ni réfuté dans cette théorie.

De tels énoncés sont [...]

Les systèmes axiomatiques pour la théorie des ensembles, ZF, Théorie des classes, Théorie des types sont équivalents au moins au sens où ils permettent tous de représenter l’essentiel des mathématiques. Parmi eux ZF est le plus courant et c’est pourquoi on en fait une description informelle ici.
La théorie qui se base sur les axiomes originaux [...]

Avec Patrick Dehornoy, université de Caen, membre senior de l’Institut universitaire de France.
Passionnant…comme la notion d’infini.

Emission diffusée le 19 Octobre 2009 sur France Culture, dans le cadre de l’émission « Les chemins de la connaissance »

Les problèmes du prix du millénaire comptent 7 défis mathématiques réputés insurmontables. La résolution de chacun des problèmes est dotée d’un prix d’un million de dollars américains. A découvrir sur wikipedia.
Un de ces 7 problèmes est :
La conjecture de Poincaré est, en mathématiques, une conjecture portant sur la caractérisation de la sphère à trois dimensions.
Jusqu’à [...]

Lors du deuxième congrès international de mathématiques tenu à Paris en 1900, David Hilbert présenta une liste de problèmes qui tenaient jusqu’alors les mathématiciens en échec. Ces problèmes devaient, selon Hilbert, marquer le cours des mathématiques du XXe siècle, et l’on peut dire aujourd’hui que cela a été grandement le cas. La liste définitive fut [...]